FUNCIÓN CUADRÁTICA
Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la siguiente forma:
f(x) = a . x^2 + b . x + c
Donde a, b, y c son números reales, y a es distinto a 0 (puede ser mayor o menor que 0, pero no igual que 0). El valor de b y c sí puede ser 0.
En la ecuación cuadrática, cada uno de sus términos tiene un nombre:
a.x^2 = es el termino cuadrático
b.x = termino lineal
c = termino independiente
Si la ecuación tiene todos los términos se dice que es una ecuación completa, pero cuando le falta el termino lineal o independiente se dice que es una ecuación incompleta.
GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA
La parábola es la representación gráfica de una función cuadrática, la cual tiene:
*Raíces: se usa esta formula para calcular las raíces(x1;x2):
* Eje de simetría: es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir, intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como un espejo que refleja la mitad de la parábola.
Su ecuación esta dada por:
Donde x1 y x2 son las raíces.
Acá podemos establecer la formula del eje de simetría:
*Concavidad: hablamos de parábola cóncava si sus ramas van hacia arriba o hacia abajo.
Si a > 0, sus ramas van hacia arriba.
Ej: f (x) = 2x^2 - 3 . x - 5
Si a<0, sus ramas van hacia abajo.
Ej: -3x^2 + 2 . x + 3
Cuanto mayor sea |a| (valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.
Ejercicios
1- Representa gráficamente las siguientes funciones cuadráticas:
2- Para la función cuadrática y = 3x^2-6x+5, encuentra: dominio, imagen, vértice, intersección con los ejes, ecuación del eje de simetría. Luego realiza la representación gráfica.
3- Halla el dominio de definición de las funciones:
4- Representa la función y = |x-5| y comprueba que su expresión analítica en intervalos es:
y= {-x + 5 si x < 5
x - 5 si x ≥ 5
5- Los gastos fijos mensuales de una empresa por la fabricación de x televisores son G = 3000 + 25x, en miles de euros, y los ingresos mensuales son I = 50x - 0,02x^2, también en miles de euros.
¿Cuántos televisores deben fabricarse para que el beneficio (ingresos - gastos) sea máximo?
f(x) = a . x^2 + b . x + c
Donde a, b, y c son números reales, y a es distinto a 0 (puede ser mayor o menor que 0, pero no igual que 0). El valor de b y c sí puede ser 0.
En la ecuación cuadrática, cada uno de sus términos tiene un nombre:
a.x^2 = es el termino cuadrático
b.x = termino lineal
c = termino independiente
Si la ecuación tiene todos los términos se dice que es una ecuación completa, pero cuando le falta el termino lineal o independiente se dice que es una ecuación incompleta.
GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA
La parábola es la representación gráfica de una función cuadrática, la cual tiene:
*Raíces: se usa esta formula para calcular las raíces(x1;x2):
Su ecuación esta dada por:
Acá podemos establecer la formula del eje de simetría:
*Concavidad: hablamos de parábola cóncava si sus ramas van hacia arriba o hacia abajo.
Si a > 0, sus ramas van hacia arriba.
Ej: f (x) = 2x^2 - 3 . x - 5
Ej: -3x^2 + 2 . x + 3
Ejercicios
1- Representa gráficamente las siguientes funciones cuadráticas:
2- Para la función cuadrática y = 3x^2-6x+5, encuentra: dominio, imagen, vértice, intersección con los ejes, ecuación del eje de simetría. Luego realiza la representación gráfica.
3- Halla el dominio de definición de las funciones:
4- Representa la función y = |x-5| y comprueba que su expresión analítica en intervalos es:
y= {-x + 5 si x < 5
x - 5 si x ≥ 5
5- Los gastos fijos mensuales de una empresa por la fabricación de x televisores son G = 3000 + 25x, en miles de euros, y los ingresos mensuales son I = 50x - 0,02x^2, también en miles de euros.
¿Cuántos televisores deben fabricarse para que el beneficio (ingresos - gastos) sea máximo?
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